张朝阳物理课线下特别节目：2025年湖南省、东北四省高考压轴题讲解

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摘要

(1) 考虑杆固定，小球以初速度v0竖直释放，并作圆周运动，当小球运动到杆的正下方时，受力分析可得绳子的拉力减去小球的重力等于圆周运动的离心力(2) 分析物理过程，小球以一定初速度v0竖直释放，运动到杆的…” />

2025年物理高考题难度如何？如何利用矢量微积分思想求解相对运动结合平抛运动的问题？如何求解带电粒子的圆周运动以及椭圆运动？如何类比并应用天体系统的开普勒定律求解粒子沿椭圆运动的相关问题？

6月22日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十九期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳线下硬核推导了2025年湖南省、东北四省（黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古）两道高考压轴大题，为广大高中学生们清晰明了地展现了压轴题解题思路与解题技巧。

2025年湖南高考题

（2025年湖南省物理高考压轴题）

此题考虑光滑轨道上，质量为M的杆以不可压缩的轻绳连接小球，将小球带有初速度竖直释放，且小球运动到杆M的左上方角度为37°时断裂，并使小球作抛物运动到达A点的过程。

(1) 考虑杆固定，小球以初速度v0竖直释放，并作圆周运动，当小球运动到杆的正下方时，受力分析可得绳子的拉力减去小球的重力等于圆周运动的离心力

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利用能量守恒，小球在杆正下方时，初始动能转化为小球的动能和势能

代入即可求得绳子拉力为

(2) 分析物理过程，小球以一定初速度v0竖直释放，运动到杆的左上方37°时轻绳断裂，设绳断裂时小球速度大小为v2。此后小球作抛物运动，由抛物运动能达到A点可倒推出初速度。题目所给角度为特殊角度37°，可利用sin37°=0.6，cos37°=0.8简化计算。

（张朝阳分析物理过程）

抛物运动的水平方向和竖直方向的距离为

利用一点代数技巧，设初速度为

利用能量守恒，

v2沿水平和竖直方向的分解为

由水平方向的匀速运动可得

代入竖直方向的匀加速运动

可得初始速度v0

（张朝阳计算初始速度）

(3) 第(3)问与第(2)问相似，但假设杆水平方向上能够自由移动而竖直方向固定，求小球能达到A点的初速度v0与杆与小球质量比k=M/m (k>=1)的关系，以及初速度v0的最小值。

小球运动过程中对绳子的拉力在水平方向上的投影一般不为0，因而绳子对杆的力会使得杆产生水平方向的加速度，且加速度是变化的。球与杆的运动将变得比较复杂，但利用能量守恒，动量守恒，则可不用考虑每个瞬间，只需要考虑初态末态即可求解。

（张朝阳以杆初始位置为原点，建立坐标）

为建立物理模型，选定合适参数，假定初始时刻的杆M的位置为原点O，以此为地面参考系，杆M水平移动的坐标为x1。在绳子未断裂前，小球m相对杆M作圆周运动，杆M有水平方向的运动，因而小球m相对原点的运动是一种复合运动，为两者的叠加。小球m相对于杆的圆周运动则可由角度θ，以及相对移动的杆M的线速度作为参数，也即是

利用动量守恒，小球和杆整体水平方向不受外力，则水平方向动量守恒，两者的质心水平方向静止不变。为叙述简洁，以下我们仅考虑水平方向上的质心。初始时刻，杆和小球组成的系统的质心（Center of Mass）为

其中，k=M/m。绳子断裂时刻，体系水平方向动量守恒质心静止不变

由此可解得杆的水平位移x1为

（张朝阳计算两个状态下的质心并以此求解杆的位移x1）

因此对杆M的位移进行时间导数可得到其速度

接着再求小球的速度v2，小球对地面参考系的速度v2等于杆M相对地面参考系的速度v1与小球绕杆M作圆周运动速度的叠加：

其中，i，eθ 为水平方向和沿着圆周运动切向的单位矢量。将v2分别投影到水平和竖直两个方向

因而

(张朝阳计算绳断裂时速度的平方与角度对时间导数的关系)

根据能量守恒，初始时刻只有小球m有动能，且杆M始终固定在水平方向，则末态为小球动能，小球势能以及杆M的动能之和：

θ=37°时绳子断裂，小球开始作抛物运动，此时水平方向不受力，匀速直线运动，竖直方向由于重力做匀加速直线运动，

根据几何关系可知，由x1往回走Lcosθ为小球m的位置，

A点横坐标距原点为L，减去小球的横坐标位置则可知抛物过程中水平方向的位移:

竖直方向距离为

为方便计算，代入数值sin37°=0.6，cos37°=0.8，由水平方向的运动可以求出

再代入竖直方向的匀加速运动可得

（张朝阳由抛物运动推出角度对时间导数的关系）

将上式代入能量守恒得出的v0与θ的时间导数的关系为

值得注意的是，当k无穷大时，对应于杆M质量无穷大，杆M几乎保持不动，v0则回到了第二问的结果。为求v0的最小值，对k求导判断单调性，

因此，v0随k单调增加变化，代入k的最小值k=1，则可求得初速度最小值为

2025黑吉辽内高考题

（2025年新课标II卷黑吉辽内四省物理高考压轴题）

(1) 首先考虑第(1)问，坐标系xOy中一、四象限存在垂直纸面向里的均匀磁场B，带正电荷q的粒子以θ角度在(0,-y0)处射入磁场，在(0,y0)处射出磁场。带电粒子只受到洛伦兹力作用，因而在磁场中作圆周运动。根据几何关系，可求出圆周运动的圆心，

再代入圆周运动过程中洛伦兹力等于离心力可得

（张朝阳分析圆周运动几何关系）

由于入射角为30°，则粒子在磁场中运动的时间为六分之一完整周期，完整圆周运动的周期T为

则带电粒子在磁场中的运动时间为

(2) 第二问在xOy平面中放置一负电荷，带电粒子受洛伦兹力和库伦力，但粒子运动的几何未发生改变，依旧保持圆周运动，求解入射磁场的初速度v2。洛伦兹力，库伦力均为中心力场，要保证两个力作用下粒子仍走圆周运动的轨迹，则负电荷必然放置于洛伦兹力作圆周运动的圆心，否则两者圆心不一致，库伦力必然使得粒子偏离洛伦兹力引起的圆周运动轨迹，从而转向其它复杂的运动。因此根据牛顿第二定律有如下方程

代入粒子质量m以及圆周运动半径R，可得关于v2的二元一次方程：

利用二元一次方程求根公式可得入射速度有

由于速度v2大小不能为负，因而舍去负数根，最终入射速度则有

（张朝阳计算求根公式）

(3) 第(3)问与第(2)问条件相同，需要求解在粒子出射磁场后到其速度首次反向所经历的时间t2。分析物理过程，当带电粒子沿圆周运动轨迹出射磁场后，洛伦兹力消失，必然无法再维持圆周运动。此时粒子仅受库伦力，方向时刻指向负电荷所在位置，要使得带电粒子速度反向，其运动轨迹必为椭圆，且刚射出磁场时粒子速度切于椭圆轨迹，首次速度反向时为整个椭圆轨道运动周期的一半。此情况与天体系统极为相似，因此可以类比并利用开普勒定律求解。为方便计算，设椭圆的近地点远地点分别为r1，r2，出射时速度为v1，速度转向时为v2。

（张朝阳分析带电粒子运动轨迹为椭圆）