如何用梯度理解曲率？《张朝阳的物理课》再访黎曼曲率

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摘要

对于一个标量场ϕ(X)，它随着这个位矢微元的变化量可以用位矢微元与梯度矢量点乘来表述在进行梯度张量与位矢微元的点乘运算时，梯度张量中要点乘的基矢是与微分运算相关的e^γ，这一点不能混淆。在本节课，张朝阳用二…” />

怎样理解时空的曲率？如何用张量语言描述曲率？6月1日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了如何用对偶基矢的语言表述微分几何的原理，接着回顾了用协变导数定义梯度算子的含义，最后，对于沿两个不同方向依次求微元的运算，张朝阳介绍了交换求微元方向的次序会带来不同的结果，这对应了黎曼曲率张量。

回顾张量的基矢展开式

之前的课程上，已经介绍过张量既可以按下基矢展开，展开系数称为逆变分量；也可以按上基矢展开，展开系数称为协变分量。每一个张量指标都可以选择这两种中的一种展开方式，所以对于二阶以上的张量，展开的方式非常多样，就比如二阶张量就有

第二个式子称为按(2,0)分量展开，也称为(2,0)型，第三个式子称为(0,2)型，第四个和第五个式子的分量指标都是一上一下的，统称为(1,1)型。至于三阶张量，它的展开方式就有足足8种，其中完全按逆变分量展开和完全按协变分量展开的形式是

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张量的梯度

除了张量本身，人们还关心张量在时空中分布的性质，或者说张量场关于时空位置的变化率。换句话说，当被观测的场点移动一小段位矢微元后，张量会发生多大的变化。这一小段位矢微元可以用逆变的坐标分量和下坐标基矢展开为

对于一个标量场ϕ(X)，它随着这个位矢微元的变化量可以用位矢微元与梯度矢量点乘来表述

其中，梯度矢量的基矢展开式是

对于一个矢量场V(X)，它随着位矢微元的变化量是

其中D代表协变微分，它区别于标量场中d所代表的普通微分。矢量的梯度是一个二阶张量，用T记为

它和位矢微元缩并后回到一阶张量，不妨把基矢的展开式显式地代入进去，这样能加深对于“梯度与位矢微元缩并得到张量变化微元”的理解

需要注意的是，这里的梯度张量有两个基矢。在进行梯度张量与位矢微元的点乘运算时，梯度张量中要点乘的基矢是与微分运算相关的e^γ，这一点不能混淆。从公式书写的角度来看，将位矢微元放在梯度张量的左边，能自然地让e^γ更接近位矢微元，所以这样的书写顺序能让人们在运算时更不容易出错。

由于矢量的变化量不仅要考虑分量的变化，也要考虑基矢的变化，所以矢量的梯度需要用协变导数表示

其中克氏符用对偶基矢来表达是

对基矢的偏导运算是先嵌入到高维平直空间中进行，然后投影回低维空间。这一计算已经在之前的课上推导过，感兴趣的网友可以回顾之前的文章。

现在已经知道，矢量的梯度是一个二阶张量，如果要研究这个二阶张量场的分布情况，那就要计算二阶张量的梯度。在本节课，张朝阳用二阶张量的上基矢展开式来计算二阶张量的协变微分

第三个等式替换了哑指标。从计算结果来看，二阶张量的协变微分等于一个三阶张量与位矢微元的缩并，在上式中缩并的指标就是γ。这个三阶张量就称为二阶张量的梯度，本文用G来标记，它的上基矢展开式是

初识黎曼曲率张量

掌握了梯度的计算工具后，就可以向着黎曼曲率张量进发了。设想空间中有一个矢量场V(X)，考察场点P上的矢量V(P)，将观测点先沿着X方向走一小段路径①到达S点后，再沿着Y方向走一小段路径②到达Q点，和先沿着Y方向走一小段路径③到达T点，再沿着X方向走一小段路径④到达Q点，这两种走法计算出来的矢量V的协变微分是不相等的。本节尝试先从基矢展开式的角度推导出这个协变微分之差的表达式，具体的计算留待下一节课讲解。

（微分的两种计算路径）

在沿着路径①走dX(P)后，矢量V的微分为

接着沿着路径②走dY(S)，引起的微分变化是

这里的位矢微元dY(S)是由P点的dY(P)沿dX平移来得到的，它本身在平移过程中是没有变化的。但值得补充的是，在弯曲时空看来，平移产生的矢量并不直接对应着相等的矢量分量，因为不同位置的基矢不一定相等。要想知道平移的矢量之间的分量如何联系，就得从它沿平移路径的协变微分为零这一条件出发。为了书写的便捷清晰，下面暂时将位矢微元dY用字母y来标记，那么y的逆变分量满足