如何用度规升降二阶张量？《张朝阳的物理课》再论微分几何

摘要

3月30日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，本节课首先回顾了张量分析中基矢、对偶基矢和度规之间的关系以及度规的协变与逆变分量之…” />

在上一次的线下课中，张朝阳用基矢、对偶基矢和度规直观地解释了很多微分几何的概念，例如克氏符描述的是下基矢的坐标偏导对上基矢的内积。那么本次课程将会介绍度规的协变与逆变分量之间的互逆关系，证明克氏符的两个下指标可交换，以及证明一阶张量的协变分量的协变导数可以通过其逆变分量的协变导数（是一个（1，1）型张量）经由度规降指标得到。

3月30日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，本节课首先回顾了张量分析中基矢、对偶基矢和度规之间的关系以及度规的协变与逆变分量之间的互逆关系，然后通过协变导数引入了克氏符，并用对偶基矢定义了克氏符，证明了克氏符关于底下的两个指标是对称的，最后研究了如何用度规升降二阶张量的指标。

（张朝阳介绍一阶张量用基矢展开）

对偶基矢和度规

（1）对于一个线性空间，总可以找到一组线性无关的（下）基矢，将其中任意的一阶张量V展开成此基矢的线性组合：

其中组合系数V^α是该张量的逆变分量，也是在其对偶的上基矢的投影（内积）

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同样，一阶张量V也可以展开成上基矢的线性组合，组合系数是该张量在对偶的下基矢的投影（内积），也叫该张量的协变分量

上下基矢满足

（2）我们在构造基矢的时候要求了上下基矢的内积等于克罗内克符号，但并没有要求上基矢之间的内积和下基矢之间的内积分别等于多少。由于这些内积的值是由两个携带分量指标的矢量计算出来的，我们可以把它们视为一个二阶张量的不同分量，记为

这个二阶张量g就被称为度规，分别称g_αβ和g^αβ为度规的协变分量和逆变分量。

度规的协变分量和逆变分量对基矢有升降功能，对张量的协变分量和逆变分量也有升降功能：

类似地，还可以发现协变度规和逆变度规满足互逆的关系

若写成矩阵形式，克罗内克符号δ就是单位矩阵。因此有

(张朝阳介绍协变度规和逆变度规之间的互逆关系)

协变导数和克氏符

在矢量微积分中，矢量v表示为

其微分为

而

所以导数就会变成矩阵，也就是张量。我们用爱因斯坦求和规则可以写成

也就是说变化量是相应指标的坐标微元的缩并。这是在平直空间中用直角坐标系的结果。但一般的结果，坐标基矢在坐标变化的时候也需要变化，这就需要求将上面的普通导数改成协变导数。

一个矢量（一阶张量）V关于坐标的偏导数包含矢量分量的偏导和基矢的偏导，如果考虑这个协变导数的逆变分量，可以得到

其中定义了克氏符

如果考虑一阶张量协变导数的协变分量，可以得到

可以看到普通导数与协变导数差在了克氏符Γ的这一项上。

接下来我们证明克氏符底下两个指标可以交换

如果采用的是坐标基矢，也就是基矢是由位置矢量对坐标的偏导来定义的：假设存在一个矢量R满足

则有

也就是克氏符的两个下指标是对称的。需要声明的是，以上的偏导运算必须是在平直空间中进行的，当我们把这些结论用在弯曲空间中时，需要把弯曲空间等距地嵌入到高维平直空间后才能进行。

实际上克氏符与度规分量可以直接联系起来：

（张朝阳证明克氏符关于两个下指标之间的对称性）

度规升降二阶张量

二阶张量可以表示为

其中第一个等于号右边的T^{αβ}被称为（2，0）型张量分量，第二个等于号右边的T_{αβ}被称为（0，2）型张量分量，第三个和第四个等于号右边的T^α_β统一被称为（1，1）型张量分量。度规的分量同样可以升降二阶张量的分量

对一个矢量的逆变分量求协变导数是一个（1，1）型张量分量：

对一个矢量的协变分量求协变导数是一个（0，2）型张量分量：

我们通过度规可以证明：

也就是

所以（1，1）型张量分量可以通过度规分量降成（0，2）型张量分量。这也从侧面印证了我们的整一套理论是自洽的。

（张朝阳介绍用度规升降二阶张量）

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